Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

Etapa 1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{5 x}$ .

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

Etapa 5

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 5.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Etapa 8.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

Etapa 10

Combine $e^{u}]_{0}^{5}$ e $\frac{1}{25}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x e^{5 x}}{5}$ em $1$ e em $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $5$ e em $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.2

Multiplique $e^{5}$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 11.3.6.1

Fatore $5$ de $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.8

Some $\frac{e^{5}}{5}$ e $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Etapa 11.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

Etapa 11.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Etapa 11.3.11

Para escrever $\frac{e^{5}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Etapa 11.3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.3.12.1

Multiplique $\frac{e^{5}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Etapa 11.3.12.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Etapa 11.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

Etapa 11.3.14

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5}$ .

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

Etapa 11.3.15

Combine $7$ e $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

Etapa 12.3

Subtraia $e^{5}$ de $5 e^{5}$ .

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Forma decimal:

$166.50273819 \dots$

Etapa 14