Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x^{2} + 1)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Divida $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Etapa 9.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\ln (x^{2} + 1) x$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Etapa 11.2

Avalie $x$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Etapa 11.3

Avalie $\arctan (x)$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.2

Some $1$ e $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.3

Multiplique $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.5

Some $0$ e $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.6

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.7

Multiplique $0$ por $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.8

Some $\ln (2)$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 11.4.9

Some $1$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Etapa 12.1.1.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Etapa 12.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 12.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Etapa 12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Etapa 12.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Etapa 12.4.3

Fatore $2$ de $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.4.4

Cancele o fator comum.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.4.5

Reescreva a expressão.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Etapa 12.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Etapa 12.5.2

Multiplique $- - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 12.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Etapa 12.5.2.2

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$0.26394350 \dots$