Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.6

Some $3$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Etapa 3.11

Some $4$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{5}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ e $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.4

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.5

Para escrever $\frac{3}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.6

Para escrever $\frac{4}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $63$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.2.7.1

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.7.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.7.3

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.7.4

Multiplique $9$ por $7$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.2.9.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.9.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.9.3

Some $27$ e $28$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.10

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.11

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.2.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.13

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.14

Multiplique $\frac{3}{7}$ por $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.15

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

Etapa 7.2.2.16

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Etapa 7.2.2.17

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.2.17.1

Cancele o fator comum.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Etapa 7.2.2.17.2

Reescreva a expressão.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

Etapa 7.2.2.18

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

Etapa 7.2.2.19

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

Etapa 7.2.2.20

Some $0$ e $0$ .

$\frac{55}{63} - 0$

Etapa 7.2.2.21

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{55}{63} + 0$

Etapa 7.2.2.22

Some $\frac{55}{63}$ e $0$ .

$\frac{55}{63}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{55}{63}$

Forma decimal:

$0.\overline{873015}$

Etapa 9