Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique $3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Etapa 1.5.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u}$ em $\ln (8)$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{3} (8 - e^{0})$

Etapa 5.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (8 - 1)$

Etapa 5.2.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $7$ .

$\frac{7}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{3}$

Forma de número misto:

$2 \frac{1}{3}$

Etapa 7