Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $16$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2)$

Etapa 6.2.8

Subtraia $2$ de $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot 6$

Etapa 6.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3}$

Etapa 6.2.10

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 6.2.10.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Etapa 6.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Etapa 6.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1}$

Etapa 6.2.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7