Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Etapa 2

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Etapa 4

Deixe $u = - t$ . Depois, $d u = - d t$ , então, $- d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $e^{t}$ em $3$ e em $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Etapa 8.2

Avalie $e^{u}$ em $- 3$ e em $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Etapa 8.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Etapa 8.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Etapa 8.3.5

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Forma decimal:

$18.13532399 \dots$

Etapa 10