Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Etapa 1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Etapa 6

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 6.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 6.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $x$ em $π$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 10.2

Avalie $\sin (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Etapa 10.3

Some $π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Etapa 11.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Etapa 11.3

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Etapa 11.4

Combine $\sin (2 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Etapa 12.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Etapa 12.2

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (π - 0)$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Etapa 12.4

Some $π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Etapa 12.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$