Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$u_{upper} = e^{- 4}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $- \frac{u_{2}}{2}$ em $\frac{1}{e^{4}}$ e em $\frac{1}{e}$ .

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ como um produto.

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{e^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Etapa 5.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{4}$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ como um produto.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Etapa 5.2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 e^{4}}$ para o numerador.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.2.2

Fatore $2$ de $2 e^{4}$ .

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $2 e$ .

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Etapa 6.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$0.34956380 \dots$

Etapa 8