Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 - 5 x$ . Depois, $d u = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 - 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Etapa 1.1.4

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Etapa 1.3.2

Subtraia $5$ de $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Etapa 1.5.2

Subtraia $10$ de $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Etapa 2.3

Mova $5$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $- 7$ e em $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 7.2.4

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 7.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.7

Para escrever $\frac{1}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 7.2.8

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Etapa 7.2.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.9.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Etapa 7.2.9.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Etapa 7.2.9.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Etapa 7.2.9.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Etapa 7.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Etapa 7.2.11

Subtraia $7$ de $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Etapa 7.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Etapa 7.2.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Etapa 7.2.14

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Etapa 7.2.15

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Etapa 7.2.16

Multiplique $5$ por $14$ .

$\frac{5}{70}$

Etapa 7.2.17

Cancele o fator comum de $5$ e $70$ .

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Etapa 7.2.17.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Etapa 7.2.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.17.2.1

Fatore $5$ de $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Etapa 7.2.17.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Etapa 7.2.17.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{14}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{14}$

Forma decimal:

$0.0\overline{714285}$

Etapa 9