Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = π x^{2}$ . Depois, $d u = 2 \cdot x π d x$ , então, $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = π x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x^{2}$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$π (2 x)$

Etapa 1.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π x$

Etapa 1.1.5

Reordene $2 π$ e $x$ .

$x (2 π)$

Etapa 1.1.6

Reordene $x$ e $2$ .

$2 \cdot x π$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$u_{lower} = π$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Etapa 1.5.2

Mova $9$ para a esquerda de $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2 π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2 π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $9 π$ e em $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Etapa 6.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Etapa 6.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Etapa 6.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Etapa 6.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{2 π}$ por $0$ .

$0$