Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ em $4$ e em $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Etapa 6.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.2

Mova $16$ para a esquerda de $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.3

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.1

Fatore $2$ de $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.3.2.4

Divida $8 \ln (4)$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.6

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.6.1

Fatore $2$ de $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.6.2.4

Divida $2 \ln (2)$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.9

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.9.1

Fatore $2$ de $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.9.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.11

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.11.1

Fatore $2$ de $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Etapa 6.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Etapa 6.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Etapa 6.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Etapa 6.2.3.11.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 6.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Etapa 6.2.3.13

Subtraia $2$ de $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Etapa 6.2.3.14

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.14.1

Fatore $2$ de $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Etapa 6.2.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Etapa 6.2.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.2.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Etapa 6.2.3.14.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Etapa 6.2.3.15

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Etapa 7.2.2

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Etapa 7.2.4

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Etapa 7.3.2

Multiplique $16$ por $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Etapa 7.4

Subtraia $12 \ln (2)$ de $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$84 \ln (2) - 18$

Forma decimal:

$40.22436316 \dots$