Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln^{2} (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{2})$ como $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Etapa 6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $\ln^{2} (x) x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (x) x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Etapa 9.3

Avalie $x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Etapa 9.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Etapa 9.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.3

Multiplique $e$ por $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.7.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.7.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 10.1.7.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Etapa 10.1.7.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Etapa 10.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Etapa 10.1.7.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Etapa 10.1.8

Some $e$ e $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Etapa 10.1.9

Subtraia $e$ de $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Etapa 10.1.10

Some $0$ e $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e + 0 - 2$

Etapa 10.2

Some $e$ e $0$ .

$e - 2$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e - 2$

Forma decimal:

$0.71828182 \dots$