Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Etapa 3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Etapa 3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Etapa 3.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.1.2

Multiplique $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ em $e$ e em $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida $\ln (1)$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Etapa 7.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Etapa 7.2.2.4

Para escrever $- (- \ln (1) - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Etapa 7.2.2.5

Combine $- (- \ln (1) - 1)$ e $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.7

Para escrever $- e^{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.8

Combine $- e^{- 1}$ e $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.10

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.12

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.13

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.2.2.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.3.4

Fatore $- 1$ de $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 7.3.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Etapa 7.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Etapa 7.4.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Etapa 7.4.4

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Etapa 7.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.5.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Etapa 7.4.5.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2 - e}{e}$

Forma decimal:

$0.26424111 \dots$