Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 x} d x$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Etapa 3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 9 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $9$ é $9$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{| 1 |})}{2}$

Etapa 3.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{1})}{2}$

Etapa 3.3.3

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{\ln (9)}{2}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$\frac{\ln (3^{2})}{2}$

Etapa 3.3.5

Expanda $\ln (3^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Etapa 3.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Etapa 3.3.6.2

Divida $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3)$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (3)$

Forma decimal:

$1.09861228 \dots$

Etapa 5