Cálculo Exemplos

$\int x^{2} \sin (π x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (π x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (π x)$ e $\frac{1}{π}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (π x)}{π}) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\cos (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{π} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{π} \cdot 2$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{1}{π} \cdot 2 \int \cos (π x) (x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- 2 \frac{1}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Etapa 4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (\frac{- 2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + 1 (\frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - (\frac{1}{π} \int \sin (π x) d x))$

Etapa 8

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 8.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u)$

Etapa 9

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$ como $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

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Etapa 13.2.1

Para escrever $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) \cdot \frac{π}{π} + C$

Etapa 13.2.2

Combine $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ e $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Etapa 13.2.4

Combine $π$ e $\frac{2}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{π \cdot 2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 13.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 \cdot π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 13.2.6

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 13.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 13.2.6.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 \frac{x \sin (π x)}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.1.2

Combine $2$ e $\frac{x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 (x \sin (π x))}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.1.3

Combine $2$ e $\frac{\cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \cos (π x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.3

Fatore $- 1$ de $\frac{2 x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.5

Fatore $- 1$ de $\frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 15.7

Reescreva $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ como $- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Etapa 15.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} - \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Etapa 15.11

Reordene os termos.

$- \frac{1}{π} (x^{2} \cos (π x) - \frac{2}{π} x \sin (π x) - \frac{2}{π^{2}} \cos (π x)) + C$