Cálculo Exemplos

Encontre o Comprimento do Arco f(x)=x^2+2x , [0,7]
,
Etapa 1
Verifique se é contínua.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 1.2
é contínuo em .
A função é contínua.
A função é contínua.
Etapa 2
Verifique se é diferenciável.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Encontre a derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 2.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Determine se a derivada é contínua em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 2.2.2
é contínuo em .
A função é contínua.
A função é contínua.
Etapa 2.3
A função é diferenciável em , porque a derivada é contínua em .
A função é diferenciável.
A função é diferenciável.
Etapa 3
Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado .
A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado .
Etapa 4
Encontre a derivada de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.2.3
Multiplique por .
Etapa 5
Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula .
Etapa 6
Avalie a integral.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Complete o quadrado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1
Use a forma para encontrar os valores de , e .
Etapa 6.1.2
Considere a forma de vértice de uma parábola.
Etapa 6.1.3
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.1
Substitua os valores de e na fórmula .
Etapa 6.1.3.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.2.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.2.1.1
Fatore de .
Etapa 6.1.3.2.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.2.1.2.1
Fatore de .
Etapa 6.1.3.2.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 6.1.3.2.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 6.1.3.2.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.3.2.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.1.3.2.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.1.4
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.4.1
Substitua os valores de , e na fórmula .
Etapa 6.1.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.4.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 6.1.4.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 6.1.4.2.1.3
Divida por .
Etapa 6.1.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 6.1.4.2.2
Subtraia de .
Etapa 6.1.5
Substitua os valores de , e na forma do vértice .
Etapa 6.2
Deixe . Depois, . Reescreva usando e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Deixe . Encontre .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1.1
Diferencie .
Etapa 6.2.1.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 6.2.1.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 6.2.1.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 6.2.1.5
Some e .
Etapa 6.2.2
Substitua o limite inferior por em .
Etapa 6.2.3
Some e .
Etapa 6.2.4
Substitua o limite superior por em .
Etapa 6.2.5
Some e .
Etapa 6.2.6
Os valores encontrados para e serão usados para avaliar a integral definida.
Etapa 6.2.7
Reescreva o problema usando , e os novos limites de integração.
Etapa 6.3
Deixe , em que . Depois, . Como , é positivo.
Etapa 6.4
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.1.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.1.1.1
Combine e .
Etapa 6.4.1.1.2
Aplique a regra do produto a .
Etapa 6.4.1.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 6.4.1.1.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.1.1.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.4.1.1.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.4.1.2
Aplique a identidade trigonométrica fundamental.
Etapa 6.4.1.3
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 6.4.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.2.1
Combine e .
Etapa 6.4.2.2
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.2.2.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 6.4.2.2.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 6.4.2.2.2
Some e .
Etapa 6.5
Como é constante com relação a , mova para fora da integral.
Etapa 6.6
Aplique a fórmula da redução.
Etapa 6.7
A integral de com relação a é .
Etapa 6.8
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.8.1
Combine e .
Etapa 6.8.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 6.8.3
Combine e .
Etapa 6.8.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 6.8.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 6.8.6
Multiplique por .
Etapa 6.8.7
Multiplique por .
Etapa 6.9
Substitua e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.9.1
Avalie em e em .
Etapa 6.9.2
Avalie em e em .
Etapa 6.9.3
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 6.10
Use a propriedade dos logaritmos do quociente, .
Etapa 6.11
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.11.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.11.1.1
Avalie .
Etapa 6.11.1.2
Avalie .
Etapa 6.11.2
Multiplique por .
Etapa 6.11.3
Divida por .
Etapa 6.11.4
Multiplique por .
Etapa 6.11.5
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.11.5.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.11.5.1.1
Avalie .
Etapa 6.11.5.1.2
Avalie .
Etapa 6.11.5.2
Multiplique por .
Etapa 6.11.5.3
Divida por .
Etapa 6.11.6
Subtraia de .
Etapa 6.11.7
Multiplique por .
Etapa 6.11.8
é aproximadamente , que é positivo, então remova o valor absoluto
Etapa 6.11.9
é aproximadamente , que é positivo, então remova o valor absoluto
Etapa 7
O resultado pode ser mostrado de várias formas.
Forma exata:
Forma decimal:
Etapa 8