Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{x + h}{x + h + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{x}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h + 1) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{x + h}{x + h + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{x}{x + 1}$ por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(x + h) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Multiplique $h$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.4.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.4.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Some $x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $h x + h - x h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $x h$ de $h x$ .

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Etapa 4.1.5.9.1

Reordene $h$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9.2

Subtraia $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{1}{x + 1}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Etapa 7.2.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Etapa 7.2.3

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 8