Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{x + h + 1}$ .

$\sqrt{x + h + 1}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.1.6

Avalie o limite de $\sqrt{x + 1}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3

Combine os termos opostos em $\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ .

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Etapa 5.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $\sqrt{x + 1}$ de $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + h + 1}$ como ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = x + h + 1$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h + 1$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.4

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.6

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.12

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.13

Some $1$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.15

Multiplique $\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.16

Mova ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4

Como $- \sqrt{x + 1}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \sqrt{x + 1}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5

Some $\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 5.5

Reescreva ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + h + 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Etapa 6.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

Etapa 6.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Etapa 6.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Etapa 8.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 8.3.2

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Etapa 8.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Etapa 8.3.6

Reescreva ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Etapa 8.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Etapa 8.3.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

Etapa 9