Cálculo Exemplos

$g (x) = \sqrt{9 - x}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{9 - (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{9 - x - h}$ .

$\sqrt{9 - x - h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

$f (x + h) = \sqrt{9 - x - h}$

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - (\sqrt{9 - x})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{9 - x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.6

Avalie o limite de $\sqrt{9 - x}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.1.2.7.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.7.2

Combine os termos opostos em $\sqrt{9 - x + 0} - \sqrt{9 - x}$ .

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Etapa 5.1.2.7.2.1

Some $9 - x$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.7.2.2

Subtraia $\sqrt{9 - x}$ de $\sqrt{9 - x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{9 - x - h} - \sqrt{9 - x}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 - x - h}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 - x - h}$ como ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 9 - x - h$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - x - h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 - x - h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - x - h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.4

Como $9$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $9$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- x] + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.5

Como $- x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 + \frac{d}{d h} [- h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- h$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.13

Some $0$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.15

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.16

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.17

Combine $\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.18

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.19

Reescreva $- 1 {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- {(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.20

Mova ${(9 - x - h)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{9 - x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4

Como $- \sqrt{9 - x}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \sqrt{9 - x}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5

Some $- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 5.5

Reescreva ${(9 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 - x - h}$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - x - h}}$

Etapa 6.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - x - h}}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 - x - h}}$

Etapa 6.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - x - h}}$

Etapa 6.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 6.8

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x - lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 6.9

Simplifique os termos.

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Etapa 6.9.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x + 0}}$

Etapa 6.9.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.9.2.1

Some $9 - x$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - x}}$

Etapa 6.9.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ por $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{9 - x}} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}})$

Etapa 6.9.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.9.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{9 - x}}$ por $\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{9 - x} \sqrt{9 - x}}$

Etapa 6.9.2.3.2

Eleve $\sqrt{9 - x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} \sqrt{9 - x}}$

Etapa 6.9.2.3.3

Eleve $\sqrt{9 - x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1} {\sqrt{9 - x}}^{1}}$

Etapa 6.9.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.9.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{\sqrt{9 - x}}^{2}}$

Etapa 6.9.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{9 - x}}^{2}$ como $9 - x$ .

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Etapa 6.9.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 - x}$ como ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.9.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.9.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.9.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.9.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.9.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{{(9 - x)}^{1}}$

Etapa 6.9.2.3.6.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$

Etapa 6.9.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{9 - x}}{9 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{(9 - x) \cdot 2}$

Etapa 6.9.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $9 - x$ .

$- \frac{\sqrt{9 - x}}{2 (9 - x)}$

Etapa 7