Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 1.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 1.1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.11.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Etapa 1.1.2.11.2

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$[0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $[0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.6.2

Some $4$ e $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $[0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $[0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5