Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.7.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 1.1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.13

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Etapa 1.1.1.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.2.1.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7.2

Combine ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.7.3.1

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Etapa 1.1.2.7.4

Multiplique $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.2.7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 1.1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.13

Combine frações.

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Etapa 1.1.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

Etapa 1.1.2.13.2

Combine $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Etapa 2.1

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 - x \geq 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 4$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 4]$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 4]$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $0$ de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 4]$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4]$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5