Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} - 9$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} - 9)}^{2}$ como $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtraia $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $- 18$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $- 9$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.2

Some $- 36 x^{3}$ e $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Subtraia $324 x$ de $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 486 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} + 18 u - 243$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 243$ e cuja soma é $18$ .

$- 9, 27$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6

Cancele o fator comum de $x + 3$ e ${(x + 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.1

Fatore $x + 3$ de $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.2.1

Fatore $x + 3$ de ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7

Cancele o fator comum de $x - 3$ e ${(x - 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.1

Fatore $x - 3$ de $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.2.1

Fatore $x - 3$ de ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} + 27) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2} + 27$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2} + 27$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} + 27 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 27$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Etapa 1.2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.4

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.4.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Etapa 1.2.3.3.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} + 27) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} - 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{2 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $3$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Etapa 4.2.3.2

Some $36$ e $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $- 729$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{19683}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $- 12$ por $63$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 756}{19683}$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum de $- 756$ e $19683$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Fatore $27$ de $- 756$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 28)}{19683}$

Etapa 4.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.2.1

Fatore $27$ de $19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Etapa 4.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Etapa 4.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 28}{729}$

Etapa 4.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{28}{729}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{28}{729}$ .

$- \frac{28}{729}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $- 125$ por $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 + 27)}{- 125}$

Etapa 5.2.3.2

Some $4$ e $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 31}{- 125}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $31$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 124}{- 125}$

Etapa 5.2.4.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f'' (- 2) = \frac{124}{125}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $\frac{124}{125}$ .

$\frac{124}{125}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $2$ e $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.3.2

Some $4$ e $27$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $125$ por $- 1$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{- 125}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $4$ por $31$ .

$f'' (2) = \frac{124}{- 125}$

Etapa 6.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{124}{125}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{124}{125}$ .

$- \frac{124}{125}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 3)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{2 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $6$ e $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{12 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3.2

Some $36$ e $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $729$ por $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{19683}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $12$ por $63$ .

$f'' (6) = \frac{756}{19683}$

Etapa 7.2.4.3

Cancele o fator comum de $756$ e $19683$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.1

Fatore $27$ de $756$ .

$f'' (6) = \frac{27 (28)}{19683}$

Etapa 7.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.2.1

Fatore $27$ de $19683$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Etapa 7.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Etapa 7.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{28}{729}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{28}{729}$ .

$\frac{28}{729}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 3, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9