Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x {(x - 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.4.6

Multiplique ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1.1.1.5.3

Fatore $3 {(x - 2)}^{2}$ de $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

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Etapa 1.1.1.5.3.1

Fatore $3 {(x - 2)}^{2}$ de $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1.1.1.5.3.2

Fatore $3 {(x - 2)}^{2}$ de $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.3.3

Fatore $3 {(x - 2)}^{2}$ de $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.5

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.6

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.7.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.7.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.5.9.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.9.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Etapa 1.1.1.5.10

Expanda $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.5.11.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.5.11.6.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.7

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.8

Multiplique $- 2$ por $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.9

Multiplique $4$ por $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Etapa 1.1.1.5.11.10

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Etapa 1.1.1.5.12

Subtraia $48 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Etapa 1.1.1.5.13

Some $24 x$ e $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 54 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $72$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.5.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $36 x^{2} - 108 x + 72$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $36$ de $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $36$ de $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $36$ de $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $36$ de $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $36$ de $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $36$ de $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 108$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $72$ .

$f'' (0) = 72$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $72$ .

$72$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 1)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(1, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1.5$ na expressão.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $1.5$ à potência de $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 108$ por $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $162$ de $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 81$ e $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 9$ .

$- 9$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, 2)$ porque $f'' (1.5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 108$ por $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $432$ de $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Etapa 6.2.2.2

Some $144$ e $72$ .

$f'' (4) = 216$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $216$ .

$216$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8