Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2.2

Some $8 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 4)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.5.2

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 4$ de $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 1.2.16

Combine $8$ e $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.2.1

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.2.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.3

Fatore $8$ de $- 24 x^{2} + 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.3.1

Fatore $8$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.3.2

Fatore $8$ de $32$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.3.3

Fatore $8$ de $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 4)$ como $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 4$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Etapa 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.3.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.5

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.5.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.5.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Etapa 3.1.2.2.6

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.1.2.2.7

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.9.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Etapa 3.1.2.2.9.2

Some $4$ e $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Etapa 3.1.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Etapa 3.1.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.1.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.1.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ é $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Etapa 3.3

Substitua $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.7

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.1.8

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Etapa 3.3.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3

Multiplique $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.7

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.7.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.7.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.8

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.9

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.11.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Etapa 3.3.2.2.11.2

Some $4$ e $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Etapa 3.3.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Etapa 3.3.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ é $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.25470053$ na expressão.

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $1.57427344$ e $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $5.57427344$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $8$ por $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $5.78256258$ por $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Etapa 5.3

Em $- 1.25470053$ , a segunda derivada é $- 0.03338531$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 32$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $32$ de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $0.5$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.25470053$ na expressão.

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $1.57427344$ e $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $5.57427344$ à potência de $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $8$ por $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $5.78256258$ por $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Etapa 7.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Etapa 7.3

Em $1.25470053$ , a segunda derivada é $- 0.03338531$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Etapa 9