Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.2

Combine os termos opostos em $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.2.2.1

Subtraia $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.2.2

Some $8 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Etapa 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 + e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.6.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.9

Some $x$ e $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.10

Fatore $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Fatore $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.10.2

Fatore $8 + e^{x}$ de $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.10.3

Fatore $8 + e^{x}$ de $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Fatore $8 + e^{x}$ de ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.11.2

Cancele o fator comum.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.11.3

Reescreva a expressão.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.12

Combine $8$ e $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.2.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.3.2

Subtraia $16 e^{2 x}$ de $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.4.1

Fatore $8$ de $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.4.1.1

Fatore $8$ de $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.1.2

Fatore $8$ de $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.1.3

Fatore $8$ de $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.2

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.3

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.4

Fatore $u$ de $8 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.4.4.1

Fatore $u$ de $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.4.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.4.3

Fatore $u$ de $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2.13.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.3.3

Defina $8 - e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $8 - e^{x}$ como igual a $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $8 - e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- e^{x} = - 8$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida cada termo em $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Etapa 3.3.3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Etapa 3.3.3.2.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Etapa 3.3.3.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Etapa 3.3.3.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (8)$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\ln (8)$ em $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\ln (8)$ na expressão.

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $8$ e $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Etapa 4.1.2.3

Cancele o fator comum de $8$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Fatore $8$ de $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\ln (8)$ em $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ é $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \ln (8))$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.97944154$ na expressão.

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Etapa 6.2

A resposta final é $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Etapa 6.3

Em $1.97944154$ , a segunda derivada é $0.01245842$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, \ln (8))$ .

Acréscimo em $(- \infty, \ln (8))$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\ln (8), \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.17944154$ na expressão.

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Etapa 7.2

A resposta final é $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Etapa 7.3

Em $2.17944154$ , a segunda derivada é $- 0.01245842$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\ln (8), \infty)$ .

Decréscimo em $(\ln (8), \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Etapa 9