Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3 x^{2} - 16 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 16 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $6 x - 16$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 16 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Etapa 3.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$6 x = 16$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 x = 16$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 x = 16$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $16$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{8}{3}$ em $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $- 8 (\frac{64}{9})$ .

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Etapa 4.1.2.1.7.1

Combine $- 8$ e $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Multiplique $- 8$ por $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.9.1

Fatore $3$ de $- 12$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Etapa 4.1.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Etapa 4.1.2.1.10

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{512}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{512}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $- 32$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $9$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{9}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 512$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $- 32$ por $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $9$ por $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $1536$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $864$ de $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $- 1888$ e $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Etapa 4.1.2.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{8}{3}$ em $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ é $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{8}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2.5\overline{6}$ na expressão.

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Etapa 6.2.2

Subtraia $16$ de $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $2.5\overline{6}$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{8}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{8}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.7\overline{6}$ na expressão.

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $6$ por $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Etapa 7.2.2

Subtraia $16$ de $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Etapa 7.3

Em $2.7\overline{6}$ , a segunda derivada é $0.5\overline{9}$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{8}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Etapa 9