Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique $32$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $4$ de $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $4$ de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $4$ de $- 48 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $4$ de $32$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $4$ de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $4$ de $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ .

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 12 x + 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 12$ e $c = 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $3.15470053$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $3.15470053$ na expressão.

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $3.15470053$ à potência de $4$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $3.15470053$ à potência de $3$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $31.39600717$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3.15470053$ à potência de $2$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $16$ por $9.95213548$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $251.16805742$ de $99.04500074$ .

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 152.12305667$ e $159.23416778$ .

$f (3.15470053) = 7.11111111$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $7.11111111$ .

$7.11111111$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $3.15470053$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ é $(3.15470053, 7.11111111)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3.15470053, 7.11111111)$

Etapa 4.3

Substitua $0.84529946$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.84529946$ na expressão.

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $0.84529946$ à potência de $4$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $0.84529946$ à potência de $3$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 8$ por $0.60399282$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $0.84529946$ à potência de $2$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $16$ por $0.71453117$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $4.83194257$ de $0.5105548$ .

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $- 4.32138776$ e $11.43249887$ .

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $7.\overline{1}$ .

$7.\overline{1}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $0.84529946$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ é $(0.84529946, 7.\overline{1})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0.84529946)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.74529946$ na expressão.

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.74529946$ à potência de $2$ .

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.55547128$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $35.77437415$ de $6.66565544$ .

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 29.1087187$ e $32$ .

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.89128129$ .

$2.89128129$

Etapa 6.3

Em $0.74529946$ , a segunda derivada é $2.89128129$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0.84529946)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0.84529946)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0.84529946, 3.15470053)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $96$ de $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 32$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 48$ e $32$ .

$f'' (2) = - 16$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 7.3

Em $2$ , a segunda derivada é $- 16$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0.84529946, 3.15470053)$ .

Decréscimo em $(0.84529946, 3.15470053)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3.15470053, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.25470053$ na expressão.

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $3.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12$ por $10.59307559$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $156.22562584$ de $127.11690713$ .

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 29.1087187$ e $32$ .

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $2.89128129$ .

$2.89128129$

Etapa 8.3

Em $3.25470053$ , a segunda derivada é $2.89128129$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(3.15470053, \infty)$ .

Acréscimo em $(3.15470053, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ .

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

Etapa 10