Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x {(x - 3)}^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique ${(x - 3)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3

Fatore $3 {(x - 3)}^{2}$ de $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

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Etapa 1.1.5.3.1

Fatore $3 {(x - 3)}^{2}$ de $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3.2

Fatore $3 {(x - 3)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Etapa 1.1.5.3.3

Fatore $3 {(x - 3)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Etapa 1.1.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.6

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.7.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.7.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.7.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.9.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.9.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Etapa 1.1.5.10

Expanda $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.4

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.6.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.7

Multiplique $- 18$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.8

Multiplique $- 3$ por $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.9

Multiplique $4$ por $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Etapa 1.1.5.11.10

Multiplique $27$ por $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Etapa 1.1.5.12

Subtraia $72 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Etapa 1.1.5.13

Some $54 x$ e $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

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Etapa 1.2.4.1

Como $162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $162 x$ em relação a $x$ é $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $162$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.5.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $36 x^{2} - 162 x + 162$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $18$ de $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $18$ de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $18$ de $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $18$ de $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $18$ de $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e cuja soma é $b = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 3$ mais $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{3}{2}$ em $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.5.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 3.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Etapa 3.1.2.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Etapa 3.1.2.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Etapa 3.1.2.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Etapa 3.1.2.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Etapa 3.1.2.11

Multiplique $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.11.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.1.2.11.2

Multiplique $9$ por $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Etapa 3.1.2.11.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Etapa 3.1.2.12

A resposta final é $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{3}{2}$ em $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ é $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Etapa 3.3

Substitua $3$ em $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $9$ por $0$ .

$f (3) = 0$

Etapa 3.3.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $3$ em $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ é $(3, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3, 0)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1.4$ na expressão.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $1.4$ à potência de $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 162$ por $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $226.8$ de $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 156.24$ e $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $5.76$ .

$5.76$

Etapa 5.3

Em $1.4$ , a segunda derivada é $5.76$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{3}{2})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3}{2}, 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2.25$ na expressão.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2.25$ à potência de $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 162$ por $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $364.5$ de $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 182.25$ e $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 20.25$ .

$- 20.25$

Etapa 6.3

Em $2.25$ , a segunda derivada é $- 20.25$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{3}{2}, 3)$ .

Decréscimo em $(\frac{3}{2}, 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3.1$ na expressão.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $36$ por $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 162$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $502.2$ de $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 156.24$ e $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $5.76$ .

$5.76$

Etapa 7.3

Em $3.1$ , a segunda derivada é $5.76$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Etapa 9