Cálculo Exemplos

$x - 2 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - 2 \cos (x)$ .

$1 - 2 \cos (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \cos (x) = - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 2.7

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 2.7.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.7.2

Combine frações.

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Etapa 2.7.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 2.7.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.9

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x - 2 \sin (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{7 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{7 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{7 π}{3}) - 2 \sin (\frac{7 π}{3})$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{7 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{7 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{7 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{7 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{13 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{13 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{13 π}{3}) - 2 \sin (\frac{13 π}{3})$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{13 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.3.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{13 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{13 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.3.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{13 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.4

Avalie em $x = \frac{19 π}{3}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua $\frac{19 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{19 π}{3}) - 2 \sin (\frac{19 π}{3})$

Etapa 4.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{19 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.4.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{19 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{19 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{19 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.4.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{19 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.5

Avalie em $x = \frac{25 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua $\frac{25 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{25 π}{3}) - 2 \sin (\frac{25 π}{3})$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{25 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 4.5.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{25 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{25 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.5.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.5.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{25 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.6

Avalie em $x = \frac{5 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Substitua $\frac{5 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{5 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 4.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.6.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{5 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{5 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.6.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.6.2.5

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4.7

Avalie em $x = \frac{11 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Substitua $\frac{11 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{11 π}{3}) - 2 \sin (\frac{11 π}{3})$

Etapa 4.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{11 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 4.7.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{11 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{11 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{11 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{11 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.7.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{11 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.7.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{11 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4.8

Avalie em $x = \frac{17 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Substitua $\frac{17 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{17 π}{3}) - 2 \sin (\frac{17 π}{3})$

Etapa 4.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{17 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 4.8.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.8.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.8.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{17 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{17 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{17 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{17 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.8.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{17 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.8.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{17 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4.9

Avalie em $x = \frac{23 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Substitua $\frac{23 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{23 π}{3}) - 2 \sin (\frac{23 π}{3})$

Etapa 4.9.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{23 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 4.9.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.9.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{23 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{23 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{23 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{23 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.9.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{23 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.9.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{23 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4.10

Avalie em $x = \frac{29 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Substitua $\frac{29 π}{3}$ por $x$ .

$(\frac{29 π}{3}) - 2 \sin (\frac{29 π}{3})$

Etapa 4.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{29 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 4.10.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.10.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.10.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\frac{29 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.10.2.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{29 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.10.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{29 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.10.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{29 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.10.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{29 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Etapa 4.10.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{29 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4.11

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, \frac{7 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, \frac{13 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, \frac{19 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, \frac{25 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, \frac{11 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, \frac{17 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, \frac{23 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, \frac{29 π}{3} + \sqrt{3})$

Etapa 5