Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 4 x - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 4 x - 4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $2$ mais $- 6$

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{2}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{8}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{8}{27} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Multiplique $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Etapa 4.1.2.1.10.1

Combine $- 2$ e $\frac{4}{9}$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

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Etapa 4.1.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Combine $4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $8$ por $9$ .

$\frac{- 8 - 24 + 72 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $24$ de $- 8$ .

$\frac{- 32 + 72 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $- 32$ e $72$ .

$\frac{40 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.3

Some $40$ e $27$ .

$\frac{67}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$8 - 8 - 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 - 8 - 8 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$0 - 8 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8 + 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 8$ e $1$ .

$- 7$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{2}{3}, \frac{67}{27}), (2, - 7)$

Etapa 5