Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 15 x - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 4 x - 15$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 4 x - 15$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 15 = - 45$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $5$ mais $- 9$

$3 x^{2} + (5 - 9) x - 15 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 5 x - 9 x - 15 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 5 x) - 9 x - 15 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 5) - 3 (3 x + 5) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 5$ .

$(3 x + 5) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 5$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 5) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{5}{3}, 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{5}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{27} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{125}{27} - 2 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 \frac{25}{3^{2}} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 (\frac{25}{9}) - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Multiplique $- 2 (\frac{25}{9})$ .

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Etapa 4.1.2.1.10.1

Combine $- 2$ e $\frac{25}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{- 2 \cdot 25}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{- 50}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{3}$ para o numerador.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 15 (\frac{- 5}{3}) - 1$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Fatore $3$ de $- 15$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 3 (- 5) \frac{- 5}{3} - 1$

Etapa 4.1.2.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 3 \cdot - 5 \frac{- 5}{3} - 1$

Etapa 4.1.2.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 5 \cdot - 5 - 1$

Etapa 4.1.2.1.13

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 25 - 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{50}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - (\frac{50}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 25 - 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{50}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 25 - 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $25$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{1} - 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{25}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{1} \cdot \frac{27}{27} - 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{25}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} - 1$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 125 - 50 \cdot 3 + 25 \cdot 27 - 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 50$ por $3$ .

$\frac{- 125 - 150 + 25 \cdot 27 - 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $25$ por $27$ .

$\frac{- 125 - 150 + 675 - 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{- 125 - 150 + 675 - 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Subtraia $150$ de $- 125$ .

$\frac{- 275 + 675 - 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.2

Some $- 275$ e $675$ .

$\frac{400 - 27}{27}$

Etapa 4.1.2.5.3

Subtraia $27$ de $400$ .

$\frac{373}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} - 15 \cdot 3 - 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 2 {(3)}^{2} - 15 \cdot 3 - 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 - 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 - 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $3$ .

$27 - 18 - 45 - 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $18$ de $27$ .

$9 - 45 - 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $45$ de $9$ .

$- 36 - 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Subtraia $1$ de $- 36$ .

$- 37$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{5}{3}, \frac{373}{27}), (3, - 37)$

Etapa 5