Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 12 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 12$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 12$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2, - 2$ .

$2, - 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $12$ de $27$ .

$f' (- 3) = 15$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $15$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f' (0) = - 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 12$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 2)$ .

Decréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Etapa 7.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

Etapa 7.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Etapa 7.2.2

Subtraia $12$ de $27$ .

$f' (3) = 15$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 7.3

Em $x = 3$ , a derivada é $15$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 2)$

Etapa 9