Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 2 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 2 x - 2$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 5.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 2$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $x = 2$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 1)$

Etapa 8