Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.9

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.10.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.10.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.3.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.6

Para escrever $x^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.7

Combine $x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.9

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.10.2.10

Some $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Etapa 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

Etapa 2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.2.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 2.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.2.6

O MMC de $3, 3, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 2.2.7

O MMC de $x^{\frac{2}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.2.8

O MMC de $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Some $2$ e $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.5

Divida $3$ por $3$ .

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique $4 x^{1}$ .

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 2.3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ para o numerador.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x = 4$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x = 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 4.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.3.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.1.4

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 6.2.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{8}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{2}$ como $2^{- 1}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.6

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.8

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.9

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.1.11.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.11.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 7.2.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

Etapa 7.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

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Etapa 7.2.1.5.1

Combine $4$ e $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.5

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.5.7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.1.5.7.2

Some $6$ e $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.1.6.2

Some $6$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

$0.83994736$

Etapa 8.4

Em $x = 2$ , a derivada é $0.83994736$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Etapa 10