Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2.2

Some $- 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.6.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $8 x = 0$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $8 x = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Some $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $25$ por $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $\frac{24}{25}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Etapa 7.2.2.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

Etapa 7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $\frac{8}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, 0)$ .

Acréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- \frac{8}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $3$ e $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $25$ por $1$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Etapa 9.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- \frac{24}{25}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(2, \infty)$ .

Decréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Decréscimo em: $(0, 2), (2, \infty)$

Etapa 11