Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Divida $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 2$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 2$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0)$

Decréscimo em: $(0, \infty)$

Etapa 9