Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 32 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 32$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 32$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 32 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Etapa 2.2

Some $32$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} = 32$

Etapa 2.3

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Etapa 2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Etapa 2.4.1.2

Fatore $4$ de $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.4.1.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Etapa 2.4.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 2.4.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 2.4.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Etapa 2.4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 2.7.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.7.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 2.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.7.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.8

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2$ .

$2$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

Etapa 5.2.2

Subtraia $32$ de $4$ .

$f' (1) = - 28$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 28$ .

$- 28$

Etapa 5.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 28$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

Etapa 6.2.2

Subtraia $32$ de $108$ .

$f' (3) = 76$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $76$ .

$76$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $76$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(2, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 2)$

Etapa 8