Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x$ de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.7320508$ na expressão.

$f' (- 2.7320508) = 4 {(- 2.7320508)}^{3} - 12 \cdot - 2.7320508$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.7320508$ à potência de $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 4 \cdot - 20.39230467 - 12 \cdot - 2.7320508$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 - 12 \cdot - 2.7320508$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 + 32.7846096$

Etapa 5.2.2

Some $- 81.5692187$ e $32.7846096$ .

$f' (- 2.7320508) = - 48.7846091$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 48.7846091$ .

$- 48.7846091$

Etapa 5.3

Em $x = - 2.7320508$ , a derivada é $- 48.7846091$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.7320508, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8660254$ na expressão.

$f' (- 0.8660254) = 4 {(- 0.8660254)}^{3} - 12 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.8660254$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 4 \cdot - 0.64951904 - 12 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 - 12 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 + 10.3923048$

Etapa 6.2.2

Some $- 2.59807617$ e $10.3923048$ .

$f' (- 0.8660254) = 7.79422862$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $7.79422862$ .

$7.79422862$

Etapa 6.3

Em $x = - 0.8660254$ , a derivada é $7.79422862$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1.7320508, 0)$ .

Acréscimo em $(- \sqrt{3}, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.8660254$ na expressão.

$f' (0.8660254) = 4 {(0.8660254)}^{3} - 12 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.8660254$ à potência de $3$ .

$f' (0.8660254) = 4 \cdot 0.64951904 - 12 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 12 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 10.3923048$

Etapa 7.2.2

Subtraia $10.3923048$ de $2.59807617$ .

$f' (0.8660254) = - 7.79422862$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 7.79422862$ .

$- 7.79422862$

Etapa 7.3

Em $x = 0.8660254$ , a derivada é $- 7.79422862$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, \sqrt{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.7320508$ na expressão.

$f' (2.7320508) = 4 {(2.7320508)}^{3} - 12 \cdot 2.7320508$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.7320508$ à potência de $3$ .

$f' (2.7320508) = 4 \cdot 20.39230467 - 12 \cdot 2.7320508$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 12 \cdot 2.7320508$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 32.7846096$

Etapa 8.2.2

Subtraia $32.7846096$ de $81.5692187$ .

$f' (2.7320508) = 48.7846091$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $48.7846091$ .

$48.7846091$

Etapa 8.3

Em $x = 2.7320508$ , a derivada é $48.7846091$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

Etapa 10