Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ , $a = 1$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 1$ na função de linearização.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Etapa 3

Avalie $f (1)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique ${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 2 {(1)}^{2}$

Etapa 3.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 2 \cdot 1$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2$

Etapa 3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$3$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $1$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$4 {(1)}^{3} + 4 (1)$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 + 4 (1)$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (1)$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4$

Etapa 4.3.2

Some $4$ e $4$ .

$8$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 3 + 8 (x - 1)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 3 + 8 x + 8 \cdot - 1$

Etapa 6.1.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$L (x) = 3 + 8 x - 8$

Etapa 6.2

Subtraia $8$ de $3$ .

$L (x) = 8 x - 5$

Etapa 7