Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sqrt{3} x$ em relação a $x$ é $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 3.6.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ em $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 5.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Etapa 5.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Etapa 5.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 5.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 5.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ são $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Etapa 7