Cálculo Exemplos

$y = x^{3} + 3 x$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{3} + 3 x$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 3$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Divida $- 3$ por $3$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 3.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 4

Não é possível encontrar uma reta tangente em um ponto imaginário. O ponto em $x =$ não existe no sistema de coordenadas real.

Não é possível encontrar uma tangente da raiz

Etapa 5

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + 3 x$ .

No horizontal tangent lines

Etapa 6