Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 3 x$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 x + 3$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 3 = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{2} + 3 x$ em $x = - \frac{3}{2}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Etapa 4.2.1.6.2

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Etapa 4.2.1.6.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 4.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- \frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Etapa 4.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x^{2} + 3 x$ é $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 6