Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Etapa 2

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4 x^{3} - 6 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $2 x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 3$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.4.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.4.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.4.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.4.2.4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ em $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{4}$ como $6^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $36$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Etapa 5.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Etapa 5.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Etapa 5.2.1.8

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.8.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Etapa 5.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Etapa 5.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Etapa 5.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.9.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Etapa 5.2.1.9.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Etapa 5.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Etapa 5.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Etapa 5.2.2.3

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Etapa 5.2.2.4

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Some $- 9$ e $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ são $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Etapa 7