Cálculo Exemplos

$y = x + \sin (x)$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x + \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + \cos (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 1$

Etapa 3.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 3.4

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 3.5

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 3.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x + \sin (x)$ em $x = π$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (π) = π + \sin (0)$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (π) = π + 0$

Etapa 4.2.2

Some $π$ e $0$ .

$f (π) = π$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $π$ .

$π$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x + \sin (x)$ em $x = π + 2 π$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $π + 2 π$ na expressão.

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Some $π$ e $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Etapa 5.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Etapa 5.2.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.2.1

Some $π$ e $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Etapa 5.2.2.2

Some $3 π$ e $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $3 π$ .

$3 π$

Etapa 6

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x + \sin (x)$ é $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Etapa 7