Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{x}$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x \sqrt{x}$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 2.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1.1

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 3.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x \sqrt{x}$ em $x = 0$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Etapa 4.2.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x \sqrt{x}$ é $y = 0$ .

$y = 0$

Etapa 6