Cálculo Exemplos

y = x \sqrt{x}

$y = x \sqrt{x}$

Etapa 1

Defina

y

$y$ como uma função de

x

$x$ .

f (x) = x \sqrt{x}

$f (x) = x \sqrt{x}$

Etapa 2

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ como

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Multiplique

x

$x$ por

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique

x

$x$ por

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve

x

$x$ à potência de

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 2.2.4

Some

2

$2$ e

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = \frac{3}{2}

$n = \frac{3}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 2.4

Para escrever

- 1

$- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.5

Combine

- 1

$- 1$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 2.7.2

Subtraia

2

$2$ de

3

$3$ .

\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.8

Combine

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ e

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a

0

$0$ e resolva a equação

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por

3

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Divida cada termo em

3 x^{\frac{1}{2}} = 0

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ por

3

$3$ .

\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.2.2

Divida

$x^{\frac{1}{2}}$ por

$1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Divida

$0$ por

$3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 3.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de

$2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Simplifique

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Resolva a função original

$f (x) = x \sqrt{x}$ em

$x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável

$x$ por

$0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Reescreva

$0$ como

$0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Etapa 4.2.4

Multiplique

$0$ por

$0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.2.5

A resposta final é

$0$ .

$0$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função

$f (x) = x \sqrt{x}$ é

$y = 0$ .

$y = 0$

Etapa 6