Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 8 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x - 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$3 x = 8$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ em $x = 0$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ em $x = \frac{8}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Etapa 4.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Etapa 4.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Combine $- 4$ e $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Etapa 4.2.1.7.2

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Etapa 4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- \frac{256}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{256}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 256$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $768$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Etapa 4.2.7

A resposta final é $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ são $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Etapa 6