Cálculo Exemplos

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.6

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.7.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.5

Some $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.6

Fatore $4$ de $- 4 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.6.2

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.6.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.8

Reescreva $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 1.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.6

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.3.7.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5

Some $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.6

Fatore $4$ de $- 4 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.6.2

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.6.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.8

Reescreva $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Etapa 1.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 1.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 1.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ como ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.6

Some $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.3.7.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5

Some $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.6

Fatore $4$ de $- 4 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.6.2

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.6.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.8

Reescreva $16 x (- x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Etapa 1.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 1.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 1.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Some $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ e $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Etapa 3.2.7.2

Reordene os termos.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Etapa 3.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Etapa 3.5.1.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Etapa 3.5.2

Fatore $2 y'$ de $2 y y' + 4 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $2 y'$ de $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ por $2 (y + 2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ por $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Etapa 3.5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.2

Fatore $4$ de $- 4 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.2.2

Fatore $4$ de $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.2.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.2.6.1

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Etapa 3.5.3.3.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 1) = 0$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $4 (x - 1) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Divida cada termo em $4 (x - 1) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- (1) + 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Etapa 5.2.1.3

Some $- 1$ e $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Etapa 5.2.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Etapa 5.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$f (1) = 0$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- (1) + 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Etapa 6.2.1.3

Some $- 1$ e $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Etapa 6.2.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Etapa 8