Cálculo Exemplos

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Etapa 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.2.6.2

Reordene os fatores de $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25 (x^{2} - y^{2})$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 2.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 2.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 2.3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Etapa 2.3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$- 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Simplifique $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Etapa 2.5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.3

Expanda $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.5.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1.4.7.1

Mova $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.7.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 2.5.1.4.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.1.4.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Etapa 2.5.2

Some $50 y y'$ aos dois lados da equação.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Etapa 2.5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.5.3.1

Subtraia $8 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Etapa 2.5.3.2

Subtraia $8 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.4

Fatore $2 y y'$ de $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

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Etapa 2.5.4.1

Fatore $2 y y'$ de $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.2

Fatore $2 y y'$ de $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.3

Fatore $2 y y'$ de $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.5

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Etapa 2.5.5

Divida cada termo em $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ por $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.5.1

Divida cada termo em $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ por $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.2.3

Cancele o fator comum de $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $50$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Etapa 2.5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Etapa 2.5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.5.1

Fatore $y$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Etapa 2.5.5.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Etapa 2.5.5.3.2

Para escrever $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 2.5.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.3.1

Multiplique $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Etapa 2.5.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.6.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.7

Fatore $x$ de $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.7.1

Fatore $x$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.7.2

Fatore $x$ de $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.7.3

Fatore $x$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.7.4

Fatore $x$ de $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.7.5

Fatore $x$ de $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.9

Reescreva $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.10

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.11

Fatore $- 1$ de $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.12

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.13

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.13.1

Reescreva $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ como $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.5.5.3.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.3

Defina $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Defina $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1.1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Etapa 3.2.3.2.1.2

Subtraia $4 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Etapa 3.2.3.2.2

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Etapa 3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Etapa 3.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Etapa 3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Etapa 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Divida $- y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Etapa 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.3

Reescreva $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{5}{2}$ e $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.5

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.4.6.1

Combine $y$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.8

Para escrever $- y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 3.2.3.2.4.9

Combine $- y$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Etapa 3.2.3.2.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.12

Multiplique $\frac{5 + 2 y}{2}$ por $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.3.2.4.13

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Etapa 3.2.3.2.4.14

Reescreva $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ .

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Etapa 3.2.3.2.4.14.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Etapa 3.2.3.2.4.14.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.2.3.2.4.14.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Etapa 3.2.3.2.4.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Etapa 3.2.3.2.4.16

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Etapa 3.2.3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Etapa 3.2.3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Etapa 3.2.3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Etapa 3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = 0$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 25 ({(0)}^{2} - y^{2})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 25 (0 - y^{2})$

Etapa 4.2.2

Subtraia $y^{2}$ de $0$ .

$f (0) = 25 (- y^{2})$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f (0) = - 25 y^{2}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- 25 y^{2}$ .

$- 25 y^{2}$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 ({(\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2})}^{2} - y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}$ como $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ como ${((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{({((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.2

Expanda $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.3

Combine os termos opostos em $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.3.1

Reorganize os fatores nos termos $5 (- 2 y)$ e $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.3.2

Some $- 2 \cdot 5 y$ e $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.3.3

Some $5 \cdot 5$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.4.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.4.3.1

Mova $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y))}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.4.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2})}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.4.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.6

Reescreva $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - {(2 y)}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = 2 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - (2 y))}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2})$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 5.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.3.1

Combine $- y^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.1

Expanda $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Reorganize os fatores nos termos $5 (- 2 y)$ e $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $- 2 \cdot 5 y$ e $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.2.3

Some $5 \cdot 5$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.3.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.3.3.1

Mova $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.3.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2}) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.3.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.4.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - 4 y^{2}}{4})$

Etapa 5.2.4.5

Subtraia $4 y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 8 y^{2}}{4})$

Etapa 5.2.5

Combine $25$ e $\frac{25 - 8 y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$ .

$\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Etapa 6

The horizontal tangent lines are $y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

$y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Etapa 7