Cálculo Exemplos

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Etapa 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + x y - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{4}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 x^{3}$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + x y' - y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Etapa 2.5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ por $3 y^{2} + x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ por $3 y^{2} + x - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Etapa 2.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Etapa 2.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Etapa 2.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$32 x^{3} - y = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$32 x^{3} = y$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $32 x^{3} = y$ por $32$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $32 x^{3} = y$ por $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Reescreva $\frac{y}{32}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{3}$ de $y$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Etapa 3.2.4.1.2

Fatore a potência perfeita $2^{3}$ de $32$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Etapa 3.2.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Etapa 3.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.2.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Etapa 3.2.4.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.5.1

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.5.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.5.1.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.2.4.5.1.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.5.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.5.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.2.4.5.1.5.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.2.4.5.2

Combine.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2.4.5.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.5.3.1

Multiplique $\sqrt[3]{y}$ por $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2.4.5.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Etapa 3.2.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.6.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Etapa 3.2.4.6.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Etapa 3.2.4.6.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.6.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Etapa 3.2.4.6.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Etapa 3.2.4.6.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Etapa 3.2.4.6.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Etapa 3.2.4.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.7.1

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.7.1.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Etapa 3.2.4.7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.7.1.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2.4.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.2.4.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.2.4.7.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ como $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva $16 y^{4}$ como ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.4.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4.3

Fatore $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4.4

Mova $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4.5

Reescreva $2^{3} y^{3}$ como ${(2 y)}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.4.6

Adicione parênteses.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Fatore $8$ de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Etapa 4.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Etapa 4.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Fatore $2$ de $2 y \sqrt[3]{2 y}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Etapa 4.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Etapa 4.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Etapa 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Etapa 6