Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Etapa 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x y$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y)$

Etapa 2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x y' + 6 y$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Subtraia $6 x y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

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Etapa 2.5.3.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $3 y'$ de $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.4

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 2 x)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.4.1

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2} - 2 x$ .

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Etapa 2.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 2.5.4.3.1.1.1

Fatore $3$ de $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.4.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 2.5.4.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Etapa 2.5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 y - x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 2 y$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2 y$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2 y$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Etapa 3.2.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 y)$ como $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Etapa 3.2.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2 y}$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2 y}$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2 y}$ na expressão.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $6 \sqrt{2 y}$ por $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2 y}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Etapa 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Etapa 7